Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (11)

Problema: Determinar um triângulo retângulo inscrito numa dada circunferência e tal que os seus catetos passem por dois pontos dados.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
       Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O$, dois pontos $\;P,\;Q\;$

Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;A\;$ da circunferência dada, de tal modo que $\;P\hat{A}Q\;$ seja um ângulo reto.

1. O lugar geométrico dos pontos tais que as retas tiradas para dois extremos $\;P\;\;,\;Q\;$ de um segmento fazem um ângulo é constituído por dois arcos de circunferências congruentes que têm por corda comum $\;PQ\;$. No caso, como $\;P\hat{A}Q$ é reto, o lugar geométrico são dois semicírculos, ou seja $\;PQ\;$ é um diâmetro. Obviamente, os extremos do diâmetro não são pontos do lugar geométrico (5º lugar geométrico da lista)
   

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   Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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   © geometrias, 16 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Construímos o lugar geométrico dos pontos tais que $\;P\hat{A}Q\;$ é reto; nada mais que a circunferência de diâmetro $\;PQ\;$, excetuando os seus pontos $\;P\;$ e $\;Q\;$ - tracejada a castanho, na figura.
3. Qualquer dos pontos de interseção da circunferência de diâmetro $\;PQ\;$ (centro $\;M\;$) com a circunferência dada de centro $\;O\;$, caso existam, resolve o problema.
4. No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\;A\;$ e $\;A'\;$.
O triângulo $\;APQ\;$ é retângulo em $\;A\;$. Tomemos os segundos pontos de interseção das retas $\;AP\;$ e $\;AQ\;$ com a circunferência de centro $\;O\;$ dada, que designámos por $\;B\;$ e $\;C\;$ respetivamente. Como $\;A\;, B\;, C\;$ são pontos da dada circunferência centrada em $\;O\;$, a hipotenusa $\;BC\;$ oposta ao ângulo reto em $\;A\;$, passa pelo ponto $\;O\;$.
O triângulo $\;ABC\;$ está bem definido e tem as propriedades requeridas pelo problema.
5. O triângulo $\;A'B'C'\;$ obtido de forma análoga ao $\;ABC\;$ é outra solução do problema.

Para a circunferência dada, fazendo variar algum dos pontos $\;P; \;Q\;$ (ou ambos) confirmará que pode haver duas, uma ou zero soluções.