O oitavo lugar geométrico da lista - P tais que PA2-PB2 constante.

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O 8º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
VIII. O lugar geométrico dos pontos para os quais é contante a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos dados é uma reta perpendicular à reta que passa pelos dois pontos dados

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Tomamos os pontos $A$, $B$ e a reta $AB$ por eles definida.
2. Para um valor de $k$, pretendemos determinar um ponto $P$ tal que $PA^2 - PB^2=k^2$ que é equivalente a $PA^2+k^2=PB^2$. Para determinar a distância $PA$, desenhamos um triângulo retângulo de catetos $k$ e $B_0 P_0$ (variável), sendo a hipotenusa $A_0P_0$. Com centro em $A$, desenhamos uma circunferência de raio $A_0P_0$ e, com centro em $B$, desenhamos a circunferência de raio $B_0P_0$. Quando estas circunferências se intersetam, os pontos de interseção $P$ são tais que $PA^2-PB^2=k^2$, condição do 8º lugar geométrico.
   

   © geometrias, 9 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O botão de animação (ao fundo à esquerda) permite acionar o deslocamento de $P_0$ sobre a reta $B_0P_0$, o que acarreta a variação dos comprimentos dos segmentos $B_0P_0$ e $A_0P_0$ e, logo, os pontos $P$ tais que $PA^2-PB^2= k^2$.
   Para cada $k$, após a animação e os traços deixados por $P$ na sua variação, sugerem-nos que o lugar geométrico é uma reta perpendicular a $AB$.
4. Precisamos de abordar alguns resultados vetoriais para determinar o lugar geométrico:
   • Consideremos o triângulo $PAB$, o ponto $M$ médio de $AB$ e o pé $H$ da perpendicular a $AB$ tirada por $P$, como podemos ver na figura inicial e a que podemos voltar sempre clicando no botão na direita alta da figura dinâmica.
   • Lembramos o produto escalar de dois vetores: $\overrightarrow {PA}.\overrightarrow{PB}=\overline{PA}.\overline{PB}.cos(A\hat{P}B)$.
     E, tendo em conta essa definição, por exemplo, $\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PA} = {PA}^2$ e $\overrightarrow{PH}.\overrightarrow{AH}= 0$.
     Calculemos a diferença dos quadrados de dois lados de $PAB$ , no caso $PA^2-PB^2$: ${PA}^2 -{PB}^2 = \overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{PB}^2= (\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB}).(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$.
     Como $\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2.\overrightarrow{PM}$, temos $PA^2 - PB^2 = 2.\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{PM}$. E, finalmente, por ser $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HM}$ e $PH \perp BA$, $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{HM}$ podemos concluir $$PA^2 - PB^2 =2.\overline{AB}.\overline{MH}$$
5. Seja um ponto $P$ do lugar geométrico, ou que verifica a condição $PA^2-PB^2 = k^2$. Na alínea anterior estabelecemos que, para qualquer triângulo $PAB$, $PA^2- PB^2 = 2. AB. MH$. Por isso, $2.AB.MH = k^2$ ou seja $\displaystyle MH =\frac{k^2}{2.AB}$ Para dados $A$, $B$ e $k$, há um só $M$ e, logo, um só $H$. Por isso, o ponto $P$ do lugar geométrico está na perpendicular a $AB$ tirada por $H$.
6. • Será que qualquer ponto dessa perpendicular a $AB$ tirada por $H$ verifica a condição do lugar geométrico?
     Seja um ponto $P$ qualquer da perpendicular a $AB$ tirada por $H$, e consideremos o triângulo $PAB$. Sabemos que $PA^2-PB^2 = 2.AB.MH$. Como $\displaystyle MH=\frac{k^2}{2.AB}$, $\;\;PA^2-PB^2=k^2$.
   • Se $P \equiv H$, usando segmentos orientados: $HA^2-HB^2 = (\overline{HA}+\overline{HB}).(\overline{HA}-\overline{HB}) = 2.\overline{HM}. \overline{BA}= 2\overline{AB}.\overline{MH} = k^2$
     Ou seja $H$ também verifica a condição do lugar geométrico.
   Podemos concluir que o conjunto dos pontos, para os quais a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A, B$ dados é constante $k^2$, é a reta (ou o plano) perpendicular a $AB$ e num ponto $H$ definido por $2 \overline{MH}. \overline{AB}= k^2$

Se desejar tomar outro valor da constante $k$, basta deslocar $A_0$.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964