Determinar a envolvente de uma família de circuncírculos com recurso à inversão

Nesta entrada, mostramos como a utilização da inversão nos permite determinar um lugar geométrico. A ilustração é muito dinâmica e podia ter-se ficado pela observação dos traçados ou pela apresentação do lugar geométrico que o Cinderella (ou outro programa de geometria dinâmica nos fornece). Mas o recurso à inversão é inestimável para compreender melhor e para desvendar procedimentos de construção e demonstração.
Enunciemos:

Os lados azuis de um ângulo dado de vértice $O$ fixo, em torno do qual rodam, são cortados por uma reta azul em $A$ e $B$. Para cada posição dp ângulo $AÔB$, há um triângulo e a respetiva circunferência circunscrita definida por $A,O, B$. Qual será a envolvente da infinidade das circunferências $OAB$ obtidas quando o ângulo roda em torno do seu vértice $O$?

Na nossa construção, partimos de um ângulo de amplitude fixa, vértice $O$ e lados azuis que cortam a reta $r$ (outro azul) em $A$ e $B$.

em vez da construção *.cdy uma ilustração estática espera ser substituída por uma nova construção interactiva talvez*.ggb
Acompanhe a explicação dos passos dados com a figura original não animada. Claro que pode mover a reta $r$, rodar o ângulo (há um ponto verde para isso). E pode animar a figura usando os botões de animação ao fundo à esquerda.


Para cada reta $r$ e cada posição do ângulo de duas retas (amplitude $\alpha$ ou $\pi-\alpha$) há um triângulo único $OAB$ e logo uma única circunferência circunscrita desenhada a cinza na figura. Quando o ângulo roda em torno de $O$, $A$ e $B$ percorrem a reta $r$ e criando desse modo uma infinidade de circunferências circunscritas. Sera que podemos determinar a envolvente dessa infinidade de circuncírculos?

1. A inversão relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $OH$, $I(O, OH^2)$, é a ajuda que precisamos para passarmos do circuncírculo $OAB$ para uma reta a passar pelos pontos de interseção do círculo de inversão a vermelho como o circuncírculo. O circuncírculo passa pelo centro de inversão (e a sua imagem é uma reta), passa por $A$ e $B$ (e a sua inversa passa por $A'$ e $B'$.
2. A inversa da reta $r=AB$ que passa por $H$, ponto da circunferência de inversão, é uma circunferência que passa pelo centro $O$ de inversão, por $H=H'$, por $A'$ e por $B'$. O seu centro é o ponto médio de $OH$ Lembremos que, para cada reta $r$, $OH$ é independente da rotação do ângulo em torno de $O$, como o é a circunferência de centro $O$ e raio $OH$.
3. As cordas $A'B'$ da circunferência de centro $O$ e raio $OH$ são iguais por corresponderem a ângulos ao centro e arcos iguais correspondentes ao nosso ângulo $O$ inscrito na circunferência inversa de $r$. Os pontos médios destas cordas na circunferência de diâmetro $AH$ são pontos de uma circunferência concêntrica, desenhada na figura, que é a envolvente destas cordas $A'B'$.
4. Esta circunferência que tem centro no ponto médio de $OH$ e toca a corda a $A'B'$ é a envolvente da inversa do circuncírculo. Assim, a correspondente desta, pela mesma inversão $I(O, OH^2)$, tocará o circuncírculo nos correspondentes aos pontos médios das cordas $A'B'$. E sabemos que a inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão é uma circunferência. Está provado que a envolvente dos circuncírculos é uma circunferência. Que circunferência? Quanto mede o seu raio? Onde está o seu centro?
5. Claro que o centro da envolvente dos circuncírculos estará sobre a reta $OH$. Para o resto, bastará considerar uma tangente à circunferência envolvente de $A'B'$, tirada por $O$, centro de inversão. Chamemos $T$ ao ponto de tangência. Pela inversão $I(O, OH^2)$, a $T$ corresponderá um ponto $T'$ de tangência da circunferência envolvente dos circuncírculos. E $OT \times OT' = OH^2$.
6. $OT$ corta a circunferência inversa de $r$ numa posição de $A'$, que designamos por $P'$, correspondente a uma posição $A$ sobre a reta $r$, que designamos por $P$. Sabemos, por isso, que $OP'= 2.OT$. $$OH^2=OP\times OP' = OP \times 2.OT = OT\times OT'$$ de onde se conclui que $$OT'=2\times OP$$ . Podemos assim determinar sobre a reta que passa por $O, T, P´, P$ o ponto $T'$ de tangência da tangente tirada por $O$ à inversa da envolvente de $A'B'$. O centro desta circunferência, envolvente dos circuncírculos, está na interseção da reta $OH$ com a perpendicular a $OT$ tirada por $T'$.
   Ficou assim determinada a envolvente aos circuncírculos $OAB$. $\hspace{1cm} \square$

Para confirmar este resultado, clique no botão da animação em baixo à esquerda.

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Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992