12.10.12

Steiner:Cónica como lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas

Na construção desta entrada, procuramos o lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas de centro O distinto de qualquer dos vértices de um triângulo ABC (em relação ao qual se estabelece a polaridade trilinear). Sobre o polo trilinear, pode consultar as entradas
  1. Polar trilinear, em que se faz referência específica às relações harmónicas estabelecidas na determinação do triângulo ceviano de ABC da relação entre polo e polar trilinear relativamente a ABC e da homologia que relaciona os dois triângulos
  2. Da polar ao polo em que se apresenta uma construção, passo a passo, em resposta a pergunta de um leitor anónimo.
Relativamente ao triângulo ABC, a determinação da polo trilinear X de uma qualquer das retas x a passar por um ponto O é feita assim:
  • Determinam-se os pontos de intersecção da recta x com os lados do triângulo ABC - X'a=BC.x, X'b=AC.x e X'c=AB.x.
  • O ponto Xc determina-se como conjugado harmónico de X'c relativamente aos pontos A e B. O ponto x.CXc será conjugado harmónico de X'c relativamente X'a e X'b.
  • Determinado Xc, imediatamente se determinam Xa e Xb tirando as rectas X'a Xc e X'b Xc que intersectam os lados AC em Xb e BC em Xa respetivamente. A reta X'cXa passa por Xb e, por isso XaXbXc determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar x nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.
  • As cevianas AXa, BXb e CXc intersetam-se no pólo X, correspondente à polar trilinear x.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Os botões ao fundo à esquerda permitem controlar a animação.

A cada reta x, variável, do feixe centrado em O, corresponde AXa, por um lado, e BXb por outro, afinal dois feixes projetivos mas não perspetivos nas condições da definição de Steiner para uma cónica. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes dos dois feixes projetivos não perspetivos X=AXa.BXb é uma cónica que passa por A, B e C.
Fazendo variar a reta x, fará variar as retas AXa e BXb, em consequência, variar X. Pode ver quais são as tangentes em A, B ou C (distintas sempre de AB, BC, CA)
Pode também deslocar O e ver o que acontece quando O está no exterior ou interior de ABC, sobre algum dos lados, sobre algum dos vértices.

Sem comentários: